なぜ前提(仮定)が偽ならその命題の結論は真なのか

命題a, bがあったとき、a⇒bの真偽表は以下の通り。（真偽というのは、真なら「成立する」、偽なら「成立しない」という意味）

納得できる人は納得できるけど、管理人的には大変混乱する話である。情報で習った論理値回路（AND回路/OR回路…）と違うじゃん、というわけだ。

具体的な事例に落とし込んで理解してみることにした。
（具体例はどんどん追加してくださいな。）

彼氏と彼女
彼女「わたしを愛してるなら、結婚してくれる？」
彼氏「もちろん」
彼女「やったぁ！絶対だよ！ケッコンカッコカリだね！」
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（後日）
彼氏「ごめん別に好きな人ができた。結婚はなしで」
彼女「嘘つき！結婚してくれるって言ったじゃん！」
彼氏「いや、嘘はついていない。別に今は愛していないからだ。」
…この彼氏の論理は成立する（真）。「愛している」という前提が吹き飛んでしまったので、「結婚する」という話ももうなくなってしまったわけだ。彼女に責める資格は…あるっちゃあるなぁ、…。
…ちょっとわかりにくいか。

空集合やらなんやらを用いて数学的に説明することもできるみたい。だれか書いて。